مقاله حل مسایل مقدار اولیه،مرزی دستگاه معادلات دیفرانسیل بوسیله شبكه های عصبی مصنوعی پیشخور

مقاله حل مسايل مقدار اوليه،مرزي دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي مرتبه بالا غيرخطي بوسيله شبكه هاي عصبي مصنوعي پيشخور در 14 صفحه ورد قابل ويرايش

چكيده

در اين مقاله روش جديد عمومي براي حل علمي مسايل مقدار اوليه- مرزي دستگاه معادلات جزئي بخصوص مراتب بالا و غيرخطي در يك ابرمكعب سيلندري ارائه مي شود. اين روش يك روش مش- فري بوده و جدايي بفرم بسته تحليلي توليد ميكند. تركيبي از مفاهيم شبكه هاي عصبي مصنوعي و ابزارهاي بهينه سازي چند بعدي در اين روش بكار ميرود. بوسيله مفاهيم تقريب توابع چندمتغير، وابسته به مباحث شبكه هاي عصبي مصنوعي پيشخوار و نيز بكمك هم محلي در نقاطي مشخص، حل مسئله مقدار اوليه- مرزي به مسئله بهينه سازي نامتغير يك تابع انرژي تبديل ميگردد. بعبارت دقيقتر يك جواب آزمون عصبي براي مسئله مقدار اوليه- مرزي متشكل از مجموع دو قسمت در نظر ميگريم: قسمت اول در شرايط اوليه- مرزي (زماني- فضايي) صدق ميكند، درحاليكه قسمت دوم شامل متغيرهاي لازم براي مينيمم سازي تابع خطاي مسئله ميباشد و بكمك يك شبكه عصبي سه لايه و پيشخور شبيه سازي گشته و براي صدق در دستگاه معادلات ديفرانسيل مسئله آموزش ميبيند. اين روش را ميتوان بعنوان تعميمي مناسب از روشهاي معيني در نظر گرفت. كاربرد اين روش جديد صرفنظر از نوع شرايط اوليه- مرزي در دامنه اي از يك معادله ديفرانسيل معمولي تا دستگاهي از معادلات ديفرانسيل جزئي متغير است.





.مقدمه:

در علوم مهندسي اغلب سيستمهاي دنياي واقعي كه با معادلات ديفرانسيل توصيف شده اند، شامل چندين شرط اوليه يا مرزي وابسته به شرايط فيزيكي مسئله نيز ميباشند. مهمترين شاخص در مورد هر مسئله مقدار اوليه- مرزي براي يك دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي عبارتست از خوش‌خيمي آن يعني وجود و يكتايي جواب مسئله بسته بنوع معادلات و نيز نوع شرايط اوليه- مرزي قابل بحث است. مانند ساير مسايل روشهاي زيادي هر چند مشكل، براي حل غيرتحليلي چنين مسايلي وجود دارد از قبيل روشهاي جداسازي متغيرها، تبديلات انتگرالي، تغيير مختصات، تغيير متغيير وابسته، معادلات انتگرال و . . . ارزش اين روشها زماني مشخص تر ميشود كه براي مسايلي بكار بروند كه جواب تحليلي نداشته يا جواب تحليلي‌شان مستقيما قابل محاسبه نباشد. اين ارزش در صورت توانايي بكارگيري روش براي دستگاه معادلات ديفرانسيل جزئي (وابسته بزمان) از مراتب بالا و غيرخطي، دوچندان ميشود.

در رياضيات كاربردي عبارتند از همگرايي، پايدار علمي، سازگاري و خوشحالي عددي آنها. سه دسته مجزا براي اين روشهاي حل غيرتحليلي ميتوان در نظر گرفت: روشهاي تغييراتي، روشهاي بسطي و روشهاي علمي. در روشهاي تغييراتي معادلات ديفرانسيل مسئله را بهمراه شرايط اوليه- مرزي آن بيك مسئله مينيمم سازي تابعكي مناسب در يك فضاي تابعي تبديل كرده و با حل اين مسئله بهينه سازي جواب مسئله اصلي را بدست مياوريم. مهمترين مشكل چنين روشهايي تعريف مناسب تابعكهاي مورد نياز ميباشد.

در روشهاي بسطي (طيفي و شبه طيفي) مانند روشهاي هم محلي و گالركين يا روشهاي سري فوريه، سري وزنوله متناهي جواب تقريبي مسئله را بكمك يك دسته از توابع پايه اي (چندجمله ايهاي متعامد) در نظر گرفته و با تحويل مسئله اصلي بيك دستگاه معادلات (خطي) ضرايب مجهول سري مذكور را بدست مياوريم مهمترين مشكلات اين روشها نحوه انتخاب توابع پايه اي و چگونگي محاسبه ضرايب مجهول، ميباشد.



2.مباني شبكه هاي عصبي مصنوعي پيشخور:

بحثهاي اوليه در مورد شبكه هاي عصبي مصنوعي در دهه 40 با معرفي شبكه هاي عصبي پيشخور آغاز شد. شبكه هاي عصبي مصنوعي تا حدودي از مغز و سيستم عصبي اسنان الگو برداري شده اند و نوعي از روشهاي مدل – فري براي پردازش داده، با مقدار حقيقي ميباشند كه قادرند برپايه سوابق اطلاعاتي درست از مسئله، جوابهاي قابل قبولي ارائه دهند.

مهمترين كاربردهاي انواع مختلف شبكه هاي عصبي عبارتند از: تشخيص گفتار، پردازش تصوير، سيستم كنترل، هوش مصنوعي، تشخيص چهره، جريان سيالات، سريهاي زماني، سيستمهاي ديناميكي و . . . .

مراجع متفاوتي شامل منابع نرم افزاري متنوع در مورد تئوري، رياضيات، مدلسازي، الگوريتم، طراحي، معماري و كاربردهاي شبكه هاي عصبي مصنوعي وجود دارد كه براي مطالعه بيشتر ميتوان بدانها مراجعه نمود.

شبكه هاي عصبي از واحدي محاسباتي بنام عصب تشكيل شده اند. هر عصب تعداي ورودي غددي دارد. درون عصب هر ورودي در ضريب عصبي متناظرش كه بنانگر ارزش آنست ضرب شده و مجموع همه اين مضارب با مقداري بنام اريب جمع ميشود. نهايتاً تابع تحريك روي اين مجموع اثر گذاشته و خروجي حقيقي عصب را بطور پيشخور تعيين ميكند.

معمولا در اكثر كاربردها حداقل شرايط براي شكل تابع تحريك در كليترين حالت عبارتست از اس- شكل (زيگموئيد) تعميم يافته بودن، يعني يكنو (غير تروپي) بودن تابع و اينكه حد تابع تحريك در مثبت و منفي بينهايت متنهاي باشد. دو نوع مناسب از چنين توابعي، تانژانست هيپربوليك و اوژستيك با ضابطه ميباشد كه ما در استفاده از مورد دوم قرار ميدهيم.

در چنين سازماني براي عصب منظور از يادگيري عبارتست از تعيين مقادير عددي بهينة ضرايب عصبي، بنحويكه با معلوم بودن وروديها، خروجي عصب قابل محاسبه باشد. اولين روش يادگيري براي مدل عصبي مذكور به قانون يادگيري عصب معروفست. كه چون براساس مينيمم سازي ميزان اختلاف بين مقادير محاسبه شده و مطلوب خروجي عصب كار ميكند، يادگيري با سرپرست ناميده ميشود. قدرت اصلي شبكه هاي عصبي، نشأت ميگيرد. ساده ترين توپولوژي شبكه هاي عصبي بصورت گروهي از عصبهاست كه در يك لايه سامان داده شده و يك يا چند ورودي مشترك دارند و شبكه تك لايه يا پرسپترون ناميده ميشوند. (ممكن است خروجي يك عصب وردي عصب يا عصبهاي ديگر بوده و شبكه بازگشتي باشد.)